简述动态规划(DP)

2020年3月27日19:19:38 发表评论

0. intro

很有意思的问题。以往见过许多教材,对动态规划(DP)的引入属于“奉天承运,皇帝诏曰”式:不给出一点引入,见面即拿出一大堆公式吓人;学生则死啃书本,然后突然顿悟。针对入门者的教材不应该是这样的。恰好我给入门者讲过四次DP入门,迭代出了一套比较靠谱的教学方法,所以今天跑过来献丑。

现在,我们试着自己来一步步“重新发明”DP。

1. 从一个生活问题谈起

先来看看生活中经常遇到的事吧——假设您是个土豪,身上带了足够的1、5、10、20、50、100元面值的钞票。现在您的目标是凑出某个金额w,需要用到尽量少的钞票。

依据生活经验,我们显然可以采取这样的策略:能用100的就尽量用100的,否则尽量用50的……依次类推。在这种策略下,666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1,共使用了10张钞票。

这种策略称为“贪心”:假设我们面对的局面是“需要凑出w”,贪心策略会尽快让w变得更小。能让w少100就尽量让它少100,这样我们接下来面对的局面就是凑出w-100。长期的生活经验表明,贪心策略是正确的。但是,如果我们换一组钞票的面值,贪心策略就也许不成立了。如果一个奇葩国家的钞票面额分别是1、5、11,那么我们在凑出15的时候,贪心策略会出错:

  • 15=1×11+4×1 (贪心策略使用了5张钞票)
  • 15=3×5 (正确的策略,只用3张钞票)

为什么会这样呢?贪心策略错在了哪里?——鼠目寸光。

刚刚已经说过,贪心策略的纲领是:“尽量使接下来面对的w更小”。这样,贪心策略在w=15的局面时,会优先使用11来把w降到4;但是在这个问题中,凑出4的代价是很高的,必须使用4×1。如果使用了5,w会降为10,虽然没有4那么小,但是凑出10只需要两张5元。

在这里我们发现,贪心是一种只考虑眼前情况的策略。那么,现在我们怎样才能避免鼠目寸光呢?如果直接暴力枚举凑出w的方案,明显复杂度过高。太多种方法可以凑出w了,枚举它们的时间是不可承受的。我们现在来尝试找一下性质。

重新分析刚刚的例子。w=15时,我们如果取11,接下来就面对w=4的情况;如果取5,则接下来面对w=10的情况。我们发现这些问题都有相同的形式:“给定w,凑出w所用的最少钞票是多少张?”接下来,我们用f(n)来表示“凑出n所需的最少钞票数量”。

那么,如果我们取了11,最后的代价(用掉的钞票总数)是多少呢?
明显[公式] ,它的意义是:利用11来凑出15,付出的代价等于f(4)加上自己这一张钞票。现在我们暂时不管f(4)怎么求出来。依次类推,马上可以知道:如果我们用5来凑出15,cost就是[公式] 。那么,现在w=15的时候,我们该取那种钞票呢?当然是各种方案中,cost值最低的那一个!

  • 取11:[公式]
  • 取5: [公式]
  • 取1: [公式]

显而易见,cost值最低的是取5的方案。我们通过上面三个式子,做出了正确的决策!这给了我们一个至关重要的启示—— [公式] 只与 [公式] 相关;更确切地说:

[公式]

这个式子是非常激动人心的。我们要求出f(n),只需要求出几个更小的f值;既然如此,我们从小到大把所有的f(i)求出来不就好了?注意一下边界情况即可。代码如下:

简述动态规划(DP)

我们以 [公式] 的复杂度解决了这个问题。现在回过头来,我们看看它的原理:

  1. [公式] 只与[公式]相关。
  2. 我们只关心 [公式],不关心是怎么凑出w的。

这两个事实,保证了我们做法的正确性。它比起贪心策略,会分别算出取1、5、11的代价,从而做出一个正确决策,这样就避免掉了“鼠目寸光”!

它与暴力的区别在哪里?我们的暴力枚举了“使用的硬币”,然而这属于冗余信息。我们要的是答案,根本不关心这个答案是怎么凑出来的。譬如,要求出f(15),只需要知道f(14),f(10),f(4)的值。其他信息并不需要。我们舍弃了冗余信息。我们只记录了对解决问题有帮助的信息——f(n).

我们能这样干,取决于问题的性质:求出f(n),只需要知道几个更小的f(c)。我们将求解f(c)称作求解f(n)的“子问题”。这就是DP(动态规划,dynamic programming).将一个问题拆成几个子问题,分别求解这些子问题,即可推断出大问题的解

思考题:请稍微修改代码,输出我们凑出w的方案

二. 几个简单的概念

无后效性:一旦f(n)确定,“我们如何凑出f(n)”就再也用不着了。要求出f(15),只需要知道f(14),f(10),f(4)的值,而f(14),f(10),f(4)是如何算出来的,对之后的问题没有影响。“未来与过去无关”,这就是无后效性。(严格定义:如果给定某一阶段的状态,则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。)

最优子结构:回顾我们对f(n)的定义:我们记“凑出n所需的最少钞票数量”为f(n).f(n)的定义就已经蕴含了“最优”。利用w=14,10,4的最优解,我们即可算出w=15的最优解。大问题的最优解可以由小问题的最优解推出,这个性质叫做“最优子结构性质”。引入这两个概念之后,我们如何判断一个问题能否使用DP解决呢?

能将大问题拆成几个小问题,且满足无后效性、最优子结构性质。

三. DP的典型应用

DAG最短路问题很简单:给定一个城市的地图,所有的道路都是单行道,而且不会构成环。每条道路都有过路费,问您从S点到T点花费的最少费用。

简述动态规划(DP)

一张地图。边上的数字表示过路费。这个问题能用DP解决吗?我们先试着记从S到P的最少费用为f(P).想要到T,要么经过C,要么经过D。从而[公式].好像看起来可以DP。现在我们检验刚刚那两个性质:

  1. 无后效性:对于点P,一旦f(P)确定,以后就只关心f(P)的值,不关心怎么去的。
  2. 最优子结构:对于P,我们当然只关心到P的最小费用,即f(P)。如果我们从S走到T是 [公式] ,那肯定S走到Q的最优路径是 [公式] 。对一条最优的路径而言,从S走到沿途上所有的点(子问题)的最优路径,都是这条大路的一部分。这个问题的最优子结构性质是显然的。

既然这两个性质都满足,那么本题可以DP。式子明显为:

[公式]

其中R为有路通到P的所有的点, [公式] 为R到P的过路费。代码实现也很简单,拓扑排序即可。

四. 对DP原理的一点讨论【DP的核心思想】

DP为什么会快?无论是DP还是暴力,我们的算法都是在可能解空间内,寻找最优解。来看钞票问题。暴力做法是枚举所有的可能解,这是最大的可能解空间。DP是枚举有希望成为答案的解。这个空间比暴力的小得多。也就是说:DP自带剪枝。DP舍弃了一大堆不可能成为最优解的答案。譬如:

  • 15 = 5+5+5 被考虑了。
  • 15 = 5+5+1+1+1+1+1 从来没有考虑过,因为这不可能成为最优解。

从而我们可以得到DP的核心思想:尽量缩小可能解空间。

在暴力算法中,可能解空间往往是指数级的大小;如果我们采用DP,那么有可能把解空间的大小降到多项式级。一般来说,解空间越小,寻找解就越快。这样就完成了优化。

五、DP的操作过程

一言以蔽之:大事化小,小事化了。将一个大问题转化成几个小问题;
求解小问题;推出大问题的解。

六、如何设计DP算法

下面介绍比较通用的设计DP算法的步骤。

首先,把我们面对的局面表示为x。这一步称为设计状态。对于状态x,记我们要求出的答案(e.g. 最小费用)为f(x).我们的目标是求出f(T)。找出f(x)与哪些局面有关(记为p),写出一个式子(称为状态转移方程),通过f(p)来推出f(x).

七、DP三连

设计DP算法,往往可以遵循DP三连。

  1. 我是谁? ——设计状态,表示局面
  2. 我从哪里来?
  3. 我要到哪里去? ——设计转移

设计状态是DP的基础。接下来的设计转移,有两种方式:一种是考虑我从哪里来(本文之前提到的两个例子,都是在考虑“我从哪里来”);另一种是考虑我到哪里去,这常见于求出f(x)之后,更新能从x走到的一些解。这种DP也是不少的,我们以后会遇到。

总而言之,“我从哪里来”和“我要到哪里去”只需要考虑清楚其中一个,就能设计出状态转移方程,从而写代码求解问题。前者又称pull型的转移,后者又称push型的转移。(这两个词是@阮止雨妹妹告诉我的,不知道源出处在哪)

思考题:如何把钞票问题的代码改写成“我到哪里去”的形式?
提示:求出f(x)之后,更新f(x+1),f(x+5),f(x+11).

例题:最长上升子序列扯了这么多形而上的内容,还是做一道例题吧。

最长上升子序列(LIS)问题:给定长度为n的序列a,从a中抽取出一个子序列,这个子序列需要单调递增。问最长的上升子序列(LIS)的长度。
e.g. 1,5,3,4,6,9,7,8的LIS为1,3,4,6,7,8,长度为6。

如何设计状态(我是谁)?我们记 [公式] 为以 [公式] 结尾的LIS长度,那么答案就是 [公式] .

状态x从哪里推过来(我从哪里来)?考虑比x小的每一个p:如果 [公式] ,那么f(x)可以取f(p)+1.
解释:我们把 [公式] 接在 [公式] 的后面,肯定能构造一个以 [公式] 结尾的上升子序列,长度比以 [公式] 结尾的LIS大1.那么,我们可以写出状态转移方程了:

[公式]

至此解决问题。两层for循环,复杂度 [公式] .

简述动态规划(DP)

从这三个例题中可以看出,DP是一种思想,一种“大事化小,小事化了”的思想。带着这种思想,DP将会成为我们解决问题的利器。

最后,我们一起念一遍DP三连吧——我是谁?我从哪里来?我要到哪里去?

八、习题 如果读者有兴趣,可以试着完成下面几个习题:

一、请采取一些优化手段,以 [公式] 的复杂度解决LIS问题。

提示:可以参考这篇博客 Junior Dynamic Programming--动态规划初步·各种子序列问题

二、“按顺序递推”和“记忆化搜索”是实现DP的两种方式。请查阅资料,简单描述“记忆化搜索”是什么。并采用记忆化搜索写出钞票问题的代码,然后完成P1541 乌龟棋 - 洛谷

三、01背包问题是一种常见的DP模型。请完成P1048 采药 - 洛谷

谢谢您看完本文 ⁄(⁄ ⁄ ⁄ω⁄ ⁄ ⁄)⁄

2019.3.3

博主注:本文转自知乎,作者:阮行止

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